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Quantificare l'Incertezza: La Funzione Variabile Casuale
MATH003Lesson 2
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In questa sessione, passiamo dalla descrizione qualitativa degli esiti a un quadro quantitativo rigoroso. Definiamo una variabile casuale non come una "variabile" nel senso algebrico, ma come una mappatura deterministica—una funzione—che trasforma gli elementi dello spazio campionario nella retta dei numeri reali.

La Definizione Funzionale (Definizione 2.1.1)

Una variabile casuale $X$ è una funzione $X: S \to R^1$ che assegna un numero reale $X(s)$ a ogni possibile risultato $s$ nello spazio campionario $S$. Si veda Figura 2.1.1 per la rappresentazione visiva di questo processo.

La Funzione Indicatrice ($I_A$)

Per collegare la teoria degli insiemi con l'aritmetica, definiamo la funzione indicatrice di un evento $A$:

$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$

Questo trasforma l'occorrenza di un evento in un segnale numerico binario.

Definire le Distribuzioni (Definizione 2.2.1)

La "distribuzione" di $X$ è l'insieme delle probabilità $P(X \in B)$ per sottoinsiemi $B \subseteq R^1$. Strettamente parlando, si richiede che $B$ sia un sottoinsieme di Borel, che è una restrizione tecnica derivante dalla teoria della misura. Tuttavia, qualsiasi sottoinsieme che possiamo definire praticamente è un sottoinsieme di Borel.

Limiti e Continuità della Probabilità

Per garantire che le nostre funzioni si comportino in modo prevedibile nei contesti infiniti, ci affidiamo agli assiomi stabiliti nei Teoremi 1.3.4 e 1.6.1:

  • Additività Numerabile (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, dove $B_n$ sono versioni disgiunte di $A_n$.
  • Continuità della Probabilità (1.7.2): Se una sequenza di eventi $\{A_n\} \nearrow A$, allora $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$.
Dimostrazione del Teorema 1.3.4

Vogliamo dimostrare che per qualsiasi sequenza di eventi $A_1, A_2, \dots$ (non necessariamente disgiunti):

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$

Questa è nota come Disuguaglianza di Boole ed è fondamentale per limitare le probabilità in sistemi complessi.

🎯 Contesto Storico
Il termine "variabile casuale" è stato scelto rispetto a "variabile di probabilità" da Joe Doob e William Feller attraverso un lancio di moneta agli inizi degli anni cinquanta. Anche se tecnicamente è una funzione, il nome "variabile" ha resistito come un artefatto storico di questo famoso lancio.